Les Mathématiques

Intérêt
Les mathématiques sont désormais présentes dans tous les domaines de la connaissance scientifique. Il n'est donc pas inintéressant de s'interroger sur ce qui constitue le principe même de la démarche mathématicienne.


Table des matières

1. Introduction


« On remarque qu’il doit y avoir quelque science générale expliquant tout ce qu’on peut chercher touchant l’ordre et la mesure sans application à une matière particulière et que cette science est appelée d’un nom étranger, mais d’un nom ancien et reçu par l’usage : mathématique universelle. » (Descartes)

« Les mathématiques sont une science dans laquelle on ne sait jamais de quoi l’on parle ni si ce que l’on dit est vrai. » (Russel)


« Mathématique » signifie en grec « savoir » ou « science ». C’est donc la science par excellence la plus simple de toutes. Quand on se donne la peine de comprendre, on comprend tout sauf les postulats. « Les mathématiques sont la science de la mesure indirecte des grandeurs. » selon Auguste Comte. La mesure est une opération qui consiste à évaluer une quantité à partir d’une quantité prise comme unité de mesure. Cette opération de mesure implique deux notions : celle d’égalité, à savoir que l’unité de mesure doit rester égale à elle-même ; et celle d’addition, à savoir que l’unité de mesure additionnée plusieurs fois avec elle-même doit produire une quantité égale à la quantité (réelle) donnée à mesurer.

Il faut distinguer deux sortes de quantité : une quantité discontinue ainsi qualifiée parce qu'on passe d'une valeur à une autre par saut brusque (par exemple de 1 à 2) et une quantité continue ou grandeur ainsi qualifiée parce qu'elle est divisible à l'infini.


2. Analyse de la nature des notions mathématiques


Nous posons volontiers les questions sous un point de vue historique : quelle est l’origine de la droite, du plan, etc. ? Aussi la conception empiriste apparaît-elle la première. L’être humain accorde un privilège aux choses sensibles. Il s’imagine que tout ce qui tombe sous les sens est réel. Les choses sensibles constituent la nature et cette dernière aurait fourni le modèle de la droite, du plan ou du volume. C’est ainsi que l’horizon de la mer suggère la droite ; qu’une mare d’eau donne l’idée du plan ; qu’une grotte où la façade est liée à une profondeur semble évoquer l’idée de volume. Quant à l’arithmétique, son origine serait plus sociale et proviendrait des échanges commerciaux où le caillou (calcul) représente la valeur de l’objet échangé. Cette origine naturelle et commerciale nous amène à penser que les notions mathématiques sont proches de l’expérience sensible. Elles sortiraient peu à peu de nos sensations par une stylisation progressive. : par exemple, à force de regarder le tronc d’arbre, nous arriverions à concevoir le cylindre. Ainsi que le constate Stuart Mill : « Nous pensons toujours aux objets tels que nous les avons vus et touchés et avec toutes les propriétés qui leur appartiennent naturellement. Mais pour la convenance scientifique nous les feignons dépouillés de toutes propriétés exceptées celles qui sont essentielles à nos recherches. » Autrement dit, la convenance scientifique nous pousserait à oublier ou à feindre d’oublier ce que le tronc d’arbre a de trop concret pour ne retenir de lui que le cylindre dépouillé de toutes ses qualités. Ainsi l’objet mathématique serait-il une abstraction constitué à partir d’une perception concrète. De nombreux renseignements historiques militent en faveur de cette thèse : le géomètre égyptien n’est-il pas, à l’origine, un mesureur de terre et le système décimal n’est-il pas lié aux dix doigts de la main ?

Pourtant cette explication séduisante n'en est-elle pas moins dangereuse ? Les renseignements historiques laissent une impression agréable et nous aimons penser les choses en terme de générations. Or, penser en terme de génération et de généalogie n'explique rien. Dire en effet qu'une figure géométrique résulte d'une stylisation lente de nos perceptions sensibles suppose le problème résolu. Comment se fait le passage entre le tronc d'arbre plus ou moins rond et le cylindre conçu à partir d'un rectangle qui tourne autour de l'un de ses côtés ? Un obstacle majeur s'oppose à la thèse empiriste de Stuart Mill lorsqu'il est affirmé qu'à partir d'un tronc d'arbre on passe « à la limite » au cylindre. Or, la limite est la notion mathématique du savoir (la ligne, le point, le plan, etc.) D'autre part, la stylisation de nos sensations se fait-elle naturellement au niveau du sujet ou bien est-elle imposée par les données extérieures ? Aussi peut-on se demander si la notion mathématique n'est pas innée au lieu d'être donnée par l'expérience.

Un exemple : la figure géométrique du rectangle

Prenons l’exemple de la figure géométrique du rectangle. Personne ne peut voir le rectangle ; chacun d’entre nous voit une figure différente. Au fur et à mesure que je me déplace et que le temps s’écoule, je ne vois plus un rectangle mais des milliers de trapèzes ou de parallélépipèdes. Si je les voyais tous, je serai fou. Mais nous, les non-fous, nous pensons ce que nous devons voir et le rectangle que nous pensons est plus important que la donnée immédiate sensible. C’est l’essence différente qui nous est, en fait, donnée ; Ce que je pense à travers cette existence donnée, c’est l’essence du rectangle. L’existence est instable pour moi qui change. Elle est instable selon mes mouvements. Elle est aussi instable objectivement (ses couleurs se transforment ; ses lignes s’estompent, etc.) Aussi l’existence est-elle devenir pour moi et hors de moi. A son niveau, rien ne demeure, tout s’écoule. Héraclite ne constatait-il pas que « nous ne nous baignons jamais deux fois dans le même fleuve » ? L’essence est, au contraire, fixe et immuable. Ainsi le rectangle demeure-t-il sans l’aide du tableau scolaire. L’essence exprime une réalité intelligible et nous comprenons le rectangle sans pour autant le voir.

Posons-nous la question : que signifie penser le rectangle ? En concevant le rectangle, je fais, en premier lieu, abstraction des imperfections de sa représentation sensible. La géométrie consiste à raisonner juste sur des figures fausses. Même tracé à l'équerre, le rectangle serait un volume irrégulier. Nous pensons donc le rectangle sans qu'il nous soit donné d'une manière sensible. Ensuite, la figure du rectangle a une couleur, mais nous ne raisonnons pas sur une figure qui a une couleur : nous raisonnons sur le rectangle et non sur le rectangle imaginé. Concevoir le rectangle, c'est, enfin, ne considérer ni le tableau scolaire ni celui que l'on imagine – qui sont des choses particulières, puisque la démonstration du mathématicien ne porte pas sur un rectangle, mais sur le rectangle, c'est-à-dire sur l'essence du rectangle – un système de quatre parallèles perpendiculaires deux à deux.

Cependant l’essence d’une figure géométrique nous permet-elle de voir ses propriétés ? Il semble, en fait, que l’objet mathématique n’est pas donné simplement à nos sens, qu’il n’est pas non plus une idée innée qui compose l’entendement mais qui les construit. « Le premier qui démontra le triangle isocèle eut une révélation car il trouva qu’il ne devait pas suivre pas à pas ce qu’il voyait dans cette figure ni s’attacher au simple concept de cette figure comme si cela devait lui en apprendre les propriétés, mais qu’il lui fallait construire cette figure au moyen de ce qu’il pensait a priori par concept. » (Kant)


3. Les principes des mathématiques


Le principe est une proposition qui ne se démontre pas et dont dépend tout le système déductif. On distingue trois catégories de principes : les définitions, les axiomes et les postulats.


La définition


La définition pose un objet de pensée et le désigne : par exemple, la droite, le nombre premier, la tangente au cercle, etc. Cependant, cette façon de poser l'objet et cette désignation ne se suffisent pas à elles-mêmes. En effet, un terme est toujours défini par rapport à d'autres termes et ces derniers par rapport à d'autres, à tel point que l'on peut concevoir une régression à l'infini. Or, celle-ci est impossible. Aussi faut-il s'arrêter à quelques termes non définis qui sont des notions admises comme « indéfinissables », de même que l'on désigne les axiomes comme des « indémontrables ». Il convient de remarquer que les notions admises comme notions premières ne sont pas indéfinissables par nature : elles sont posées comme telles. Une notion posée comme première dans une théorie peut devenir une notion dérivée dans une autre : nous admettons habituellement le point comme notion première et la notion de droite est une notion dérivée c'est-à-dire définie comme indéterminée par deux points. Mais on peut formuler la conception inverse : la droite est prise comme notion première et le point devient alors une notion dérivée, définie comme l'intersection de deux droites.

La définition renferme donc des notions qui sont loin d’être claires. Ainsi en est-il de la définition de l’angle. Il est une figure formée par deux demi droites issues d’un même point. Mais le point est-il premier par rapport à la droite ? Par ailleurs, les deux demi droites apparaissent à partir d’un point qui partage une droite. Or, une droite est comprise à partir d’un postulat qui s’énonce ainsi : « C’est le plus court chemin d’un point à un autre. » Par conséquent si la définition du commencement fait problème, c’est que le commencement de la définition est problématique.

La définition apparaît toutefois comme une dénomination et une règle de construction. L'être mathématique réside dans le concept et non dans la figure ou le symbole. D'autre part, la définition est génératrice de son objet et c'est en ce sens qu'elle constitue un principe : elle n'est légitime que si les propriétés assignées à l'être mathématique sont compatibles : par exemple, un triangle tri-rectangle est impossible.


L’axiome


On les a réduits pendant longtemps à des évidences. L'axiome est une proposition si évidente (exemple : le tout est plus grand que la partie) que l'on ne ferait que l'obscurcir si on voulait le démontrer.


Les postulats


Ce sont des affirmations que l’on demande d’admettre pour que la démonstration soit possible. C’est une sorte de scandale logique car il défie l’évidence et la démonstration : « La définition et les propriétés de la ligne droite ainsi que les lignes parallèles sont l’écueil et pour ainsi dire le scandale des Éléments de Géométrie. » (D’Alembert) Les postulats sont des conventions adoptées pour leur commodité.

Une géométrie n'est pas vraie ou fausse ; un postulat n'est pas vrai ou faux : ils sont plus ou moins en accord avec l'expérience. La géométrie euclidienne est celle qui s'accorde le mieux avec les propriétés des corps matériels donnés dans la perception. Démontrer en mathématiques, c'est lier selon la règle de la nécessité une conséquence problématique à une hypothèse. La démarche consiste à rapporter la conséquence à des propositions déjà établies et incontestées par une suite d'identifications. Par exemple, démontrer qu'un rectangle perpendiculaire à une corde la coupe en son milieu. Il me suffit d'établir que AB est la base d'un triangle isocèle. Pour cela, je rapporte à AB, OA et OB égaux par définition et ainsi côtés d'un triangle isocèle possible. OH étant la hauteur du triangle isocèle OAB (par construction OH est perpendiculaire), je rapporte à l'une des propriétés du triangle isocèle selon laquelle la hauteur est en même temps médiane et médiatrice. Nous remarquons donc que le raisonnement mathématique procède par substitutions d'équivalent ou par identification.

Ce qui conduit à poser le problème méthodologique suivant : la démonstration mathématique peut-elle être à la fois rigoureuse et progressive ? Elle est rigoureuse si elle est fidèle au principe d'identité. Lorsque l'on dit que la tangente est un cas spécial de la sécante, ce qui est vrai de la seconde l'est de la première. Il semble que la démonstration mathématique soit progressive : lorsque l'on connaît la somme des angles d'un triangle, on peut établir la somme des angles d'un polygone. Or, ceci constitue une généralisation par rapport au savoir précédent qui représente un cas particulier : Cf. le théorème précisant que la somme des angles d'un polygone est égale à autant de droits qu'il y a de côtés moins deux. La déduction est ici généralisante.


4. Notion sur l'axiomatique


Actuellement, on ne tient pas compte de la différence de nature entre axiome et postulat. Par contre, on considère leur signification fonctionnelle. Ils sont l’un et l’autre à la base du système déductif, et dans ce cas, certains mathématiciens se sont demandés s’il convenait de conserver une distinction inopérante. Aussi préfèrent-ils regrouper l’un et l’autre sous le titre général d’axiome. Le mathématicien « bourbakiste » en généralisant cette notion a manifesté un souci de cohérence. Aujourd’hui, tout un courant des mathématiques est animé par le souci d’établir un système rigoureux sans tenir compte de l’évidence. Selon Bourbaki : « Il n’y a aucun point commun entre le mot axiome et le sens traditionnel de vérité évidente. »

Ce point de vue naît d'une réflexion sur l'appareil logique qui soutient la géométrie euclidienne comme théorie déductive. Or, cet appareil logique n'est pas apparu sans reproche. On peut remarquer, en premier lieu, que dans le postulat des parallèles, il y a une dissymétrie entre le théorème d'existence qui consiste à dire que par un point passe au moins une parallèle - et qui est établi par démonstration -, et le postulat d'unicité indiquant qu'il en passe une au plus. Or, ceci restait à démontrer. Ainsi ce postulat survenait dans le système comme un élément étranger dont la vérité n'était pourtant pas contestée. Est-ce une vérité de fait et d'expérience ou une vérité de raison ? Les géomètres eurent par la suite le souci de marquer la différence et furent aidés par l'apparition des géométries non euclidiennes qui permirent de bien distinguer le contenu d'une proposition géométrique de sa structure.

Ainsi supposons qu'il ait été demandé à un philosophe grec  si la somme des angles d'un triangle est égale, inférieure ou supérieure à deux droits, il aurait répondu oui à la première question et non aux deux suivantes. Or, actuellement, le géomètre admet qu'il s'agit de trois théorèmes distincts qui s'excluent dans un même système mais qui sont valables dans leur système propre selon que le nombre de parallèles est postulé égal, supérieur ou inférieur à 1. L'expérience vérifie la première proposition et ne confirme pas les autres ; cela concerne l'utilisation pratique de la science, mais ne concerne pas la science pure. Ainsi les géomètres actuels s'intéressent-ils moins à la vérité ou à la fausseté d'un système qu'à sa cohérence ou sa non cohérence. Jusqu'alors, le théorème de géométrie était à la fois un renseignement sur les choses et une construction de l'esprit, une loi physique et une pièce d'un système logique, une vérité de fait et une vérité de raison. La géométrie laisse actuellement de côté le premier aspect et devient un système hypothético-déductif.

L'autre difficulté rencontrée dans la géométrie euclidienne est constitué par la figure. Le géomètre euclidien laisse croire que la figure est une illustration sensible de la démonstration logique et qu'elle ne fait que doubler cette dernière. Or, on s'est aperçu que si on supprime la figure tracée, la démonstration s'effondre : ainsi on remarque une déficience si l'on ne voit pas la figure lorsque l'on souhaite construire un triangle équilatéral à partir d'un segment de droite. Comment sait-on que les deux cercles se coupent ? En fait, le point de rencontre est montré par construction mais il n'est pas démontré. Autrement dit, on est obligé de faire appel à des éléments extérieurs à la pensée logique, à savoir à l'intuition sensible et à la construction expérimentale alors que l'intuition nous fait admettre des propositions qui réclameraient une démonstration. Dans ce cas, l'intuition dans la mesure même où elle apporte une évidence apparaît comme une faute dans un système logique. Bref, elle nous fait admettre des choses qui ne sont pas expliquées : c'est ainsi que Euclide n'a jamais énoncé la proposition selon laquelle si une droite a deux plans dans un plan, elle y est contenue toute entière ; et pourtant il s'en sert.

Le rêve de l'axiomaticien est de construire un système qui se suffise à lui-même. Actuellement cela semble impossible car, dans un système géométrique, la connaissance opératoire de la logique est présupposée. Outre la logique, la géométrie suppose l'arithmétique tri-angle, somme des angles. Ceci est contraire à l'esprit de l'axiomaticien qui veut tout expliquer sans rien supposer.




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Droits d'auteur © Sophie LAUZON



 
Catégorie (2) Mathématiques 
 
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